[حمید]

علی با کتابی زیر بغل قدری سر به هوا از کنار حسین رد می شود، حسین او را صدا می کند و می گوید حال داری یک دست شطرنج بازی کنیم. علی با بی میلی می گه نه حوصله ندارم. راستش از دیروز دارم روی یک مسئله استقراء فکر می کنم هنوز نتونستم حلش کنم. …
علی با کتابی زیر بغل قدری سر به هوا از کنار حسین رد می شود، حسین او را صدا می کند و می گوید حال داری یک دست شطرنج بازی کنیم. علی با بی میلی می گه نه حوصله ندارم. راستش از دیروز دارم روی یک مسئله استقراء فکر می کنم هنوز نتونستم حلش کنم. حسین می گه خوب بشین یک دست شطرنج بازی کنیم بلکه فکرت باز شه.
حالا در حالیکه هر دو مشغول چیدن مهره ها هستند حسین می گه خوب صورت مسئله چیه، علی هم معادله زیر رو نشونش می ده

مهره ها چیده می شه و شروع حرکت با حسینه، مدتی می گذره و علی می گه خوب زود باش هنوز بازی شروع نشده که این همه به صفحه خیره شدی. حسین یک نگاه دیگه به معادله علی می کنه و می گه بی خود نیست که نمی تونی رابطه را اثبات کنی چون در کسر سمت راست بجای n-1 باید n+1 باشه. علی می گه از کجا می دونی، حسین به صفحه شطرنج اشاره می کنه و می گه کمی به صفحه دقت کن می فهمی.

به نظر شما حسین چگونه به صفحه نگاه کرده که متوجه اشتباه موجود در رابطه شده؟

موضوع

[نادر]

شمارنده سمت چپ ، همان شمارنده مثلث معروف به مثلث خیام یا مثلث پاسکال است . اگر دو مثلث را روی هم قرار دهیم جمع دو مثلث مستطیلی می شود با عرض n و طول n+1 و جمع مهره های مثلث خواهد شد n (n+1) /2 . حسین با نگاه به صفحه ی شطرنج و تخیل شکل زیر متوجه اشکال شد .

о о о о х о о о х х о о х х х о х х х х

[حمید]

ضمن تشکر از پاسخ خوب آقا نادر می توان به ترتیب زیر نیز فکر کرد. دو طرف رابطه را برای کمک به تجسم بصری بهتر مطابق روابط زیر بازنویسی می کنیم.

رابطه الف را با دقت به صفحه شطرنج می توان حاصل جمع و تفریق L های معکوس قرمز و سفید در شکل د تصور نمود. بزرگترین L معکوس قرمز حاصل رابطه n²-(n-1)² است. L معکوس قرمز بعدی نیز حاصل رابطه (n-2)²-(n-3)² است که با لغزاندن آن به سمت بالا و چپ در جای L های معکوس سفید، می توان به تدریج رابطه الف و شکل ی را تشکیل داد. نهایتاً شکل ی را می توان با خط مورب قرمز رنگ که در واقع وتر صفحه شطرنج است به دو بخش آبی n²/2 و سبز n/2 تقسیم کرد. بنابراین رابطه الف معادل رابطه صحیح ب است. ( ببخشید ظاهراً شکلها خیلی دقیق از آب در نیامده، ولی فکر می کنم منظور رو رسونده باشم)

[نویسنده]

پاسخ‌ها