محمد سعید جعفرپور
در فضای دو بعدی موقعیت هر متحرک را می توان با یک ماتریس 2 در 2 در صفحه مختصات نشان داد که در آن دترمینان ماتریس معرف مساحت شکل گرفته در صفحه است. تبدیلهای خطی متفاوت روی دستگاه مختصات می تواند منجر به مساحتهای متفاوت یا برابر شود. در این حالت، صفر شدن دترمینان به معنی صفر شدن مساحت شکل گرفته در صفحه است که در آن حالت دو محور مختصات بر هم منطبق می شوند. به همان ترتیب دترمینان یک ماتریس سه بعدی معرف حجم شکل گرفته در فضا است و صفر شدن دترمینان 3 در 3 معرف تقلیل یک بعد از فضای سه بعدی می باشد.
در مسئله هواپیماها می توان مرکز مختصات سه بعدی را روی یکی از آنها منظور نمود و موقعیت سه تای دیگر را با ماتریسهای متغیر با مکان نشان داد. بدیهی است چنانچه در لحظه ای دترمینان موقعیت سه هواپیما نسبت به مرکز مختصات فرضی صفر شود، حالتی است که یک بعد از فضای بر داری سه بعدی مان تقلیل یافته و چهار نقطه روی یک صفحه قرار می گیرند.
از سوی دیگر جابجایی نهایی دو هواپیما مستلزم جابجایی دو سطر یا دو ستون دترمینان خواهد بود که معنی آن منفی شدن مقدار دترمینان نهایی نسبت به دترمینان اولیه می باشد. به عبارت دیگر در فضای تغییرات پیوسته مورد نظر، منطقا لااقل یک موقعیت مکانی چنان قابل تصور است که دترمینان مکانی ماتریس متناظر صفر شود و این به معنی قرار گرفتن چهار هواپیما روی یک صفحه است که لاجرم منجر به نابودی آنها خواهد شد.